ऑपरेशंस रिसर्च में इस्तेमाल की जाने वाली तकनीकें | परियोजना प्रबंधन

अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए ऑपरेशन रिसर्च में उपयोग की जाने वाली विभिन्न तकनीकें इस प्रकार हैं: 1. रेखीय प्रोग्रामिंग 2. प्रतीक्षा रेखा या कतार सिद्धांत 3. लक्ष्य प्रोग्रामिंग 4. संवेदनशीलता विश्लेषण 5. गतिशील प्रोग्रामिंग 6. नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग।

तकनीक # 1. रैखिक प्रोग्रामिंग:

रैखिक प्रोग्रामिंग शास्त्रीय संचालन अनुसंधान तकनीकों में से एक है। सैन्य अनुप्रयोगों के लिए इसका शुरुआती उपयोग था, लेकिन वर्तमान में यह व्यापक रूप से व्यावसायिक समस्याओं के लिए कार्यरत है। यह रिफाइनरी, उत्पादन वितरण के लिए कच्चे तेल के वितरण जैसे संसाधन आवंटन के रूप में अनुप्रयोगों को पाता है; कृषि में उर्वरकों जैसे सम्मिश्रण, सही फसल का चयन करना; सेना में जैसे बमवर्षक प्लेसमेंट, सैनिक तैनाती; और वित्त, कर्मियों और विज्ञापन में।

रैखिक प्रोग्रामिंग एक चिंता के सीमित संसाधनों का सबसे अच्छा उपयोग खोजने के लिए शक्तिशाली गणितीय तकनीक है। इसे एक तकनीक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कंपनी के उद्देश्यों को प्राप्त करने के लिए एक इष्टतम तरीके से निश्चित रूप से शर्तों (यानी, अधिकतम-न्यूनतम) के तहत दुर्लभ उपलब्ध संसाधनों को आवंटित करता है, जो कि अधिकतम समग्र लाभ या न्यूनतम समग्र लागत हो सकती है।

रैखिक प्रोग्रामिंग को प्रभावी ढंग से तभी लागू किया जा सकता है जब:

(ए) उद्देश्यों को गणितीय रूप से कहा जा सकता है।

(b) संसाधनों को मात्राओं (संख्या, भार आदि) के रूप में मापा जा सकता है।

(c) सुविधापूर्वक मूल्यांकन के लिए कई वैकल्पिक समाधान हैं।

(d) समस्या के चर एक रैखिक (सीधी रेखा) संबंध को धारण करते हैं, अर्थात, एक चर में परिवर्तन अन्य चर में आनुपातिक परिवर्तन पैदा करता है। दूसरे शब्दों में, संसाधनों की इकाइयों को दोगुना करने से लाभ दोगुना हो जाएगा। समस्या समाधान रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर आधारित है।

रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल निम्नानुसार दिख सकता है:

तरीकों, जो आमतौर पर रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है नीचे चर्चा की गई है:

(ए) चित्रमय विधि:

सरल दो आयामी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को इस तकनीक द्वारा आसानी से और तेजी से हल किया जा सकता है। तकनीक को आसानी से महारत हासिल की जा सकती है और रिश्तों का एक दृश्य चित्रण दिखाता है। लेकिन, जैसे-जैसे उत्पादों और बाधाओं की संख्या में वृद्धि होती है, सरल दो आयामी ग्राफ पर रिश्ते (समस्या के चर के बीच) को दिखाना और व्याख्या करना बहुत मुश्किल होता है। इस विधि को आसानी से तीन चर तक लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 11.1। यह बताएंगे कि रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या को आलेखीय विधि से कैसे हल किया जाए।

उदाहरण 1:

एक फर्नीचर निर्माता दो उत्पाद एक्स बनाता है₁ और एक्स₂ अर्थात् चेयर और टेबल। प्रत्येक कुर्सी रुपये के लाभ में योगदान करती है। 20 और प्रत्येक तालिका रु। 40. कच्चे माल से तैयार उत्पाद तक कुर्सियां और टेबल, तीन वर्गों एस में संसाधित होते हैं_1, एस₂, एस_3. सेक्शन एस में₁, प्रत्येक कुर्सी (एक्स₁,) को एक घंटे और प्रत्येक तालिका (एक्स) की आवश्यकता होती है₂) प्रसंस्करण के 4 घंटे की आवश्यकता है।

सेक्शन एस में₂ प्रत्येक कुर्सी के लिए 3 घंटे और प्रत्येक तालिका में एक घंटे और सेक्शन S की आवश्यकता होती है₃ समय क्रमशः 1 और 1 घंटा है। निर्माता अपने लाभ का अनुकूलन करना चाहता है यदि अनुभाग एस₁, एस₂ और एस₃ क्रमशः 24, 21 और 8 घंटे से अधिक नहीं लिया जा सकता है।

उपाय:

पहला कदम रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल, यानी, ऊपर दिए गए डेटा से एक गणितीय मॉडल तैयार करना है।

मॉडल निम्नानुसार है:

सी₁ बाधा नंबर 1 और इतने पर है।

दूसरा कदम यह है कि बाधाओं को अस्थायी रूप से समीकरणों में परिवर्तित किया जाए, अर्थात

तीसरे चरण में अक्ष को ग्राफ पेपर पर चिह्नित किया जाता है और चर X के साथ लेबल किया जाता है₁ और एक्स_2.

चौथा चरण है, कागजी समीकरणों का उपयोग करके ग्राफ पेपर पर सीधी रेखाएँ खींचना और ग्राफ पेपर पर संभव समाधान को चिह्नित करना। उदाहरण के लिए, पहले बाधा समीकरण लेना।

24 के बिंदु को X पर चिह्नित करें₁ एक्स पर 6 का अक्ष और बिंदु₂ एक्सिस। उनके साथ जाओ। यह सीधी रेखा C का प्रतिनिधित्व करती है₁ समीकरण। इसी तरह बाधा सी₂ और सी₃ प्लॉट किया जा सकता है (चित्र 11.2)।

बाधा के अनुसार सी₄, एक्स₁ और एक्स₂ शून्य से अधिक (या बराबर) हैं, इसलिए एक्स के बीच चिह्नित क्षेत्र (क्षेत्र)₁ = एक्स₂ = 0 और सी_1, सी_2, सी_3, संभव समाधान का प्रतिनिधित्व करता है।

पांचवें चरण के रूप में, समीकरण (Z) का प्रतिनिधित्व करने वाली एक (बिंदीदार) सीधी रेखा खींची जाती है, जो Z 120 के किसी भी उपयुक्त मान को मानती है।

छठे चरण में, एक सीधी रेखा Z_म सी के चौराहे पर संभव समाधान के क्षेत्र, यानी बिंदु बी के सबसे दूर बिंदु पर लाइन Z के समानांतर खींचा जाता है।₁ और सी_3. समीकरण B को हल करके बिंदु B के सह-निर्देश प्राप्त किए जा सकते हैं₁ और सी_3.

(बी) परिवहन समस्या:

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के परिवहन या वितरण के तरीकों का उद्देश्य प्रेषण स्टेशनों से माल प्राप्त करने के लिए माल भेजने की लागत (सामग्री से निपटने) को कम करना है। आम तौर पर, कई प्रेषण स्टेशनों से कई प्रकार के सामानों को कई प्राप्त केंद्रों पर भेज दिया जाता है।

इस तरह की स्थितियों में रैखिक प्रोग्रामिंग दृष्टिकोण यह पता लगाने के लिए जाता है कि शिपमेंट से सबसे किफायती (कम से कम महंगा) बनाने के लिए कितने सामान को किस डिस्पैच स्टेशन से अंत तक प्राप्त किया जा सकता है। ऐसी समस्याओं में परिवहन तकनीक एक व्यवहार्य समाधान देती है जिसे बाद के चरणों में सुधार किया जाता है जब तक कि इष्टतम (सबसे अच्छा) संभव समाधान नहीं आ जाता है।

परिवहन समस्याओं को हल करने के दो तरीके नीचे दिए गए हैं:

(ए) वोगेल की अनुमानित विधि, और

(b) उत्तर-पश्चिम कोने की विधि।

Vogel की विधि WR Vogel द्वारा विकसित की गई थी, और समाधान के लिए अच्छा सन्निकटन देता है। यह सरल समस्याओं में इष्टतम समाधान प्रदान करता है। जटिल परिवहन समस्याओं में भी, पहला समाधान वोगेल की विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जो आगे चलकर पत्थर विधि या संशोधित वितरण विधि द्वारा इष्टतमता के लिए परीक्षण किया जाता है।

(i) वोगेल की अनुमानित विधि:

प्रक्रियात्मक चरण:

(ए) दिए गए समस्या के आधार पर मैट्रिक्स का गठन करें।

(b) हर कॉलम और पंक्ति की न्यूनतम और न्यूनतम लागत के बीच का अंतर ज्ञात करें।

(c) सबसे बड़े अंतर वाली एक पंक्ति या कॉलम का चयन करें और इसे एक तीर से चिह्नित करें। यदि लागत में अंतर का सबसे बड़ा मूल्य स्तंभ और पंक्ति दोनों में से किसी एक में मौजूद है, तो स्तंभ या पंक्ति में से किसी एक को चुना जा सकता है।

(d) उस वर्ग या स्तंभ में अधिकतम मात्रा में माल चिह्नित करें, जो सबसे कम लागत वहन करता है। यह या तो प्राप्त अंत (DR) की सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है या एक डिस्पैचिंग स्टेशन (FC) की क्षमता को समाप्त करता है, और इस प्रकार वह विशेष पंक्ति या स्तंभ रद्द हो जाता है।

(e) स्टेप्स (ए) से (डी) तब तक दोहराया जाता है जब तक कि सभी सामान वितरित नहीं हो जाते।

(च) स्टेपिंग स्टोन विधि का उपयोग इस स्तर पर इष्टतमता की जाँच के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण 2:

एक उद्योगपति की बैंगलोर (ए), भोपाल (बी) और कानपुर (सी) में तीन-तीन फैक्ट्रियां हैं और तीन डीलर दिल्ली (1), बॉम्बे (2) और मद्रास (3) में अपना माल बेचते हैं।

फैक्ट्री A, B, E पर उपलब्ध सामानों (या वस्तुओं) की संख्या के साथ एक फैक्ट्री से किसी डीलर तक किसी वस्तु को ले जाने की लागत और 1, 2 और 3 के लिए आवश्यक सामान नीचे दिए गए मैट्रिक्स में दिखाए गए हैं:

परिवहन की कम से कम लागत ज्ञात कीजिए।

हल: पहला परीक्षण

दूसरा परीक्षण:

तीसरा परीक्षण:

मैट्रिक्स नीचे दिए गए चित्र 11.12 के अनुसार घटता है:

एकमात्र विकल्प अब बचा है डीलर नंबर 2 पर, परिवहन ए से एक आइटम और फैक्ट्री ई से सात आइटम दिखाए गए हैं (बिंदीदार दिखाया गया है)

यह इष्टतम संभव समाधान नहीं हो सकता है या नहीं। यह इष्टतमता के लिए पत्थर की विधि द्वारा जाँच की जानी है।

जब फैक्ट्रियों से डीलरों को वितरित किए गए सभी सामान अंजीर के मूल मैट्रिक्स में दिखाए जाते हैं। 11.3 यह अंजीर का आकार लेता है। 11.13। यह स्पष्ट है कि कारखाने से 4, एक आइटम प्रत्येक डीलर नंबर 1 और डीलर नंबर 2 और आठ माल डीलर नंबर 3 पर भेज दिया जाता है और इसी तरह कारखानों बी और ई से भेजा जाता है। परिवहन या वितरण की इष्टतम न्यूनतम लागत। माल के बराबर है

(1 × 3) + (1 × 6) + (8 × 4) + (5 × 2) + (7 × 6) = रु। 93।

जैसा कि ऊपर किया गया है, ऐसी समस्या को हल करते समय प्रत्येक चरण के लिए अलग मैट्रिक्स का निर्माण करना आवश्यक नहीं है। एक बार अभ्यास प्राप्त करने के बाद, बहुत कम अवधि में अंतिम परिणामों पर पहुंचने के लिए कई चरणों को एक साथ जोड़ा जा सकता है।

(ii) उत्तर-पश्चिम कॉर्नर विधि:

चित्र 11.14 Vogel की विधि से लिया गया चित्र 11.3 का मैट्रिक्स दर्शाता है।

नॉर्थ-वेस्ट कॉर्नर विधि इस तथ्य से अपना नाम रखती है कि मैट्रिक्स के उत्तर-पश्चिम कोने से संसाधनों का प्रारंभिक आवंटन शुरू किया गया है। अन्य चीजों (यानी, लागत) को अनदेखा करना और बस कारखाने की क्षमता और डीलर की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए, दो (यानी, एफसी और डीआर) की न्यूनतम (माल की संख्या) उत्तर-पश्चिम कोने में रखी गई है; उदाहरण के लिए, हालांकि कारखाना, ए 10 वस्तुओं की आपूर्ति कर सकता है, डीलर 1 को केवल 6 की आवश्यकता है।

इसलिए, 6 आइटम उत्तर-पश्चिम कोने में चिह्नित हैं, (चित्र 11.15)। इसके बाद यह उत्तर-पश्चिम कोने से दक्षिण-पूर्वी कोने तक मैट्रिक्स को 'स्टेयरिंग स्टेप डाउन' और माल आवंटित करने के लिए है। उदाहरण के लिए, AW कोने में 6 माल रखकर, डीलर 1 की आवश्यकताएं समाप्त हो गई हैं, लेकिन डीलर 2 को 8 सामानों की आवश्यकता है। उसके लिए फैक्ट्री A से 4 और स्वाभाविक रूप से फैक्ट्री B से 4 की आपूर्ति की जा सकती है यदि किसी को मैट्रिक्स में सीढ़ियों से नीचे उतरना पड़े। इस तरीके से प्रारंभिक उत्तर-पश्चिम समाधान मैट्रिक्स, छवि 11.15 में चिह्नित किया गया है।

कूपर और चार्न्स द्वारा विकसित स्टेपिंग स्टोन विधि का उपयोग करके इस प्रारंभिक समाधान में सुधार किया जा सकता है। खाली या खुले वर्गों को वाटर स्क्वेयर कहा जाता है और सामान रखने वाले वर्गों को स्टोन स्क्वायर के रूप में जाना जाता है।

कदम पत्थर विधि नीचे समझाया गया है:

यह देखते हुए कि समाधान में सुधार किया गया है या नहीं, इस बात पर आधारित है कि परिवहन लागत कम हुई है या नहीं। उत्तर-पश्चिम कोने आवंटन द्वारा प्रारंभिक समाधान के लिए परिवहन की लागत है

(6 × 3) + (4 × 6) + (4 × 5) + (1 × 7) + (7 × 8) = रु। 125।

कदम पत्थर की प्रक्रिया में किसी सामान को पत्थर के वर्ग से खाली वर्ग में स्थानांतरित करना या स्थानांतरित करना शामिल है यदि यह परिवहन लागत में बचत ला सकता है। शिफ्ट किए जाने वाले माल की संख्या उपलब्ध माल (एफसी) और आवश्यक सामान (डीआर) की संख्या से प्रतिबंधित है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले एक बंद वर्ग (और 4 या अधिक चौकों की कल्पना की जाती है) में एक खाली वर्ग और बाकी सभी पत्थर वर्ग हैं, जैसा कि चित्र 11.15 में चुना गया है।

वर्ग A से वर्ग में केवल एक आइटम को ले जाया जा सकता है, केवल 3 को वर्ग C में समायोजित किया जाएगा, और यह वर्ग D में 5 हो जाएगा। जब एक आइटम निकलता है तो इसका मतलब है कि परिवहन लागत में रु। 7 की कमी आई है, इसलिए इसे चिह्नित किया गया है। + ve। चूंकि एक आइटम वर्ग बी में जाता है, परिवहन लागत में 4 रुपये की वृद्धि होती है और यह चिह्नित है + ve।

और स्वाभाविक रूप से एफसी और डीआर को संतुलित करने के लिए एक आइटम वर्ग सी को छोड़ देता है और एक आइटम वर्ग डी में चला जाता है और वे क्रमशः -ve और + ve चिह्नित होते हैं। इसके बाद, यह अनुमान लगाया जाता है कि इस स्थानांतरण से परिवहन लागत में कोई बचत हुई है या नहीं। यह रु। -7 + 4 - 6 + 5 = - 4, जो (नकारात्मक होने) से पता चलता है कि परिवहन लागत रुपये से कम हो गई है। 4 प्रति आइटम। अंजीर। 11.16 शो, इस प्रकार संशोधित मैट्रिक्स। परिवहन की कुल लागत है

(6 × 3) + (3 × 6) + (1 × 4) + (5 × 5) + (7 × 8) = रु। 121।

परिवहन की कुल लागत रु। 121 रु। 125 (चित्र 11.15) जो सुधार दिखाता है।

फिर से, एक और लूप की कोशिश की जाती है जो परिवहन लागत में बचत दिखाता है। यह लूप चित्र 11.16 में अंकित है। इस मामले में बचत रुपये की (+ 6 - 8 + 4 - 6 = - 4) होगी। 4 प्रति आइटम। इस लूप में 3 सामानों को वर्ग C से वर्ग पाउंड में स्थानांतरित किया जा सकता है और वर्गों F और B के सामान में संगत समायोजन कारखाने की क्षमता (FC) और डीलर की आवश्यकताओं (DR) द्वारा लगाए गए प्रतिबंधों के अनुसार किया जाएगा। दूसरा बेहतर समाधान चित्र 11.17 में दिया गया है। परिवहन की कुल लागत रु। १० ९ है जो पहले के मूल्यों के साथ तुलना में सुधार दिखाती है।

बचत का वादा करने वाला एक अन्य लूप चित्र 11.17 में अंकित किया गया है। इस मामले में बचत (+ 4 - 8 + 4 - 3 = - 3) रुपये की होगी। 3 प्रति आइटम। चार वस्तुओं को वर्ग एफ से वर्ग एच में स्थानांतरित किया जा सकता है और तदनुसार आइटमों की संख्या वर्ग बी और जी में समायोजित की जा सकती है। तीसरा सुधार मैट्रिक्स छवि 11.18 में दिखाया गया है। परिवहन की कुल लागत रु। 97 जो पिछले समाधानों में सुधार दिखाता है।

अंजीर में चिह्नित लूप पर विचार करके बचत को आगे बढ़ाया जा सकता है। 11.18। इस मामले में बचत रुपये की है। (+ 2 - 4 + 6 - 5 = -1) एक आइटम और 4 आइटम को वर्ग H से वर्ग I में स्थानांतरित किया जा सकता है। यह बेहतर मैट्रिक्स अंजीर में दिखाया गया है। 11.19 और परिवहन की कुल लागत रु। 93 जो एक और सुधार है।

फिर भी, चित्र 11.19 में दिखाए गए अधिक लूप की कोशिश की जा सकती है, लेकिन यह पाया जाता है कि वे कोई बचत नहीं करते हैं, बल्कि वे परिवहन की कुल लागत को बढ़ाते हैं। इसलिए हम इष्टतम समाधान के रूप में चित्र 11.19 का समाधान लेते हैं।

इसी समस्या को पहले वोगेल की विधि द्वारा हल किया गया था और जो समाधान मिला वह चित्र 11.13 में अंकित था। यद्यपि दो समाधान (चित्र 11.13 और 11.19) फैक्टरियों से डीलरों को माल के वितरण के संबंध में भिन्न हैं, फिर भी परिवहन की कुल लागत (93 रुपये) समान है। इसलिए दोनों विधियों, अर्थात वोगेल की विधि, और स्टेपिंग स्टोन विधि ने परिवहन या वितरण लागत को अनुकूलित किया है।

परिवहन संबंधी समस्याएं (लागत मैट्रिक्स) असमान आपूर्ति और मांग के साथ:

उदाहरण के तहत हल की गई समस्या 11.2 में कुल 22 कारखानों की क्षमता थी और डीलर की आवश्यकताएं भी 22 थीं; लेकिन वास्तविक स्थितियों में ऐसा बहुत कम होता है।

यह काफी उत्तरदायी है कि आपूर्ति और मांग समान नहीं हो सकती है। इस तरह की समस्याओं से निम्नलिखित तरीके से निपटा जाता है:

[चित्र के तहत के रूप में matrices मान लें। 11.20 (ए) और (बी)]।

इस तरह की समस्याओं को ठीक उसी तरह हल किया जाता है जैसा कि पहले बताया गया था, सिवाय इसके कि मैगेल की विधि का उपयोग करने से पहले अंजीर के 11.1 (क) और (ख) क्रमशः 11.21 (क) और (ख) के आंकड़ों को समायोजित किया जाता है। या उत्तर-पश्चिम कॉर्नर विधि। समायोजन को डमी कारखानों या डमी डीलरों का उपयोग करके (एफसी और डीआर) आपूर्ति और मांग को बराबर करने के लिए किया जाता है। इन डमी संस्थाओं को शून्य परिवहन लागत सौंपी जाती है क्योंकि माल कभी वितरित नहीं किया जाएगा।

अंजीर में 11.21 (ए), 2 सामानों के उत्पादन के साथ एक डमी कारखाना जोड़ा गया है जो कुल कारखाने की क्षमता और कुल डीलर की आवश्यकताओं को बराबर करता है। इसी तरह अंजीर में 11.21 (बी) में एक डमी डीलर जोड़ा गया है और उसकी 2 वस्तुओं की आवश्यकताओं के साथ, कुल आपूर्ति और मांग समान हो जाती है। अब मेट्रोज को वोगेल की विधि या नॉर्थ-वेस्ट कॉर्नर विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

समान आपूर्ति और मांग के साथ लाभ मैट्रिक्स:

उदाहरण 11.2 ने लागत मैट्रिक्स का उपयोग किया क्योंकि इसमें माल की परिवहन लागत शामिल थी और उद्देश्य कुल परिवहन लागत को कम करना था। यदि परिवहन लागत मूल्यों को लाभकारी मूल्यों (रुपये) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो कुल लाभ जो एक फर्म को विभिन्न स्थानों पर विभिन्न वस्तुओं के परिवहन के द्वारा प्राप्त होगा, अधिकतम किया जा सकता है।

अंजीर। 11.22 एक लाभ मैट्रिक्स दिखाता है, जिसके अनुसार फैक्ट्री A प्रत्येक वस्तु के लिए रु। 4 का लाभ कमाती है जो डीलर 1 को भेजा जाता है। 8 और रु। 6 क्रमशः यदि एक ही वस्तु डीलरों 2 और 3 को भेजी जाती है। तो इसी तरह, कारखानों बी और ई तीन अलग-अलग डीलरों को आइटम भेजकर विभिन्न मात्रा में मुनाफा कमाते हैं। कारखानों के मालिक के सामने समस्या यह है कि किस कारखाने से कितने सामान किस डीलर को भेजे जाएं ताकि वह अधिकतम लाभ कमा सके?

इस तरह की समस्या को हल करने में पहला कदम है, लाभ मैट्रिक्स को कॉस्ट मैट्रिक्स में अंजीर में बदलना। 11.21। अधिकतम लाभ (छवि 11.22) रु। 8 है जो शून्य लागत के बराबर माना जाता है और अन्य सभी वर्गों के लिए लागत की गणना उनके लाभ को रु। 8 से घटाकर की जाती है। उदाहरण के लिए, वर्ग ए, बी और सी के लिए मुनाफा 4, 5 और 1 रुपये हैं, और इसलिए लागत रु। (8 - 4) = 4, (8 - 5) = 3 और (8 - 1) = 7 क्रमशः।

पहले बताए गए तरीकों से अब लागत को कम किया जा सकता है। अलग-अलग वर्गों में इष्टतम असाइनमेंट किए जाने के बाद, विभिन्न वर्गों में लागत आंकड़े लाभ के आंकड़ों की जगह मूल मैट्रिक्स, अंजीर। 11.22 के रूप में बदल दिए जाते हैं। प्रत्येक पत्थर वर्ग में माल की संख्या उस वर्ग के लाभ के आंकड़े से गुणा की जाती है। जब ऐसे सभी गुणा लाभ मान जोड़ दिए जाते हैं, तो यह अधिकतम लाभ देता है।

असमान आपूर्ति और मांग के साथ लाभ मैट्रिक्स:

लाभ मैट्रिक्स के चित्र 11.22 में उनकी मांग के बराबर माल की आपूर्ति होती है, 20 और 20। यदि कुछ कारणों के कारण एफसी 18 हो जाता है, लेकिन DR 20 रहता है या DR 17 में बदल जाता है और FC 20 रह जाता है तो क्या किया जाना चाहिए।

प्रक्रिया सरल है और नीचे दी गई है:

चरण 1:

लाभ मैट्रिक्स ड्रा।

चरण 2:

प्रत्येक वर्ग में शून्य लाभ मूल्य के साथ डमी फैक्टरी या डमी डीलर डालकर आपूर्ति और मांग को बराबर करें।

चरण 3:

लागत मैट्रिक्स में बदलें।

चरण 4:

पहले बताए गए तरीकों से लागत कम करें।

चरण 5:

इष्टतम निर्दिष्ट मान प्राप्त करने के बाद (माल का) लागत मैट्रिक्स को लाभ मैट्रिक्स में परिवर्तित करें।

चरण -6:

इष्टतम लाभ की गणना करें।

पतन:

एक परिवहन समस्या को केवल तभी अनुकूलित किया जा सकता है यदि इसमें (m + n -1) स्टोन वर्ग (यानी, सामानों के असाइनमेंट वाले वर्ग) शामिल हैं, जहाँ m पंक्तियों की संख्या है और n मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या है (चित्र देखें)। 11.28)।

यदि पत्थरों की संख्या (m + n-1) मानों से कम है, तो पानी के चौकों का मूल्यांकन करने के लिए बंद रास्ते का पता नहीं लगाया जा सकता है और मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है। पहला कदम, इसलिए, किसी भी मैट्रिक्स को अनुकूलित करने में पत्थरों की संख्या की गणना करना और पतित मैट्रिक्स में समाधान जारी रखना है, पत्थरों की संख्या को बढ़ाने के लिए आवश्यक है (m + n- 1)। यह एक डमी पत्थर, done, पानी के वर्ग में जोड़कर किया जाता है। डमी पत्थर समाधान जारी रखने के लिए अनुमति देने के लिए केवल एक उपकरण है। यह उस मार्ग पर सबसे बड़े लाभ (या कम से कम लागत) वर्ग में डाला जाता है जिसने पतन का निर्माण किया।

असीम मात्रा, ϵ, जो एक होनहार निर्वासित सेल को सौंपा गया है, के असामान्य लेकिन सुविधाजनक गुण हैं:

(1) उस सेल के उपचार के लिए पर्याप्त बड़ा होना जिसमें इसे कब्जे में रखा गया है, और

(२) यह मानने के लिए पर्याप्त छोटा होना कि इसका स्थान रिम की स्थिति को नहीं बदलता है। आपूर्ति और मांग (मात्रा) प्रविष्टियों को रिम की स्थिति कहा जाता है। वे प्रदान की बाधाओं के अनुरूप हैं।

अनुकूलन की प्रक्रिया के दौरान या तो एक प्रारंभिक समाधान में या एक संशोधित समाधान में डीजेनसिटी विकसित हो सकती है। दोनों ही मामलों में उपचार समान है। एक या अधिक कोशिकाओं को (m + n - 1) के बराबर कब्जे वाली कोशिकाओं की कुल संख्या बनाने के लिए एप्सिलॉन (more) आवंटन प्राप्त होते हैं। Cells आवंटन प्राप्त करने के लिए कोशिकाओं को सावधानी से चुना जाना चाहिए क्योंकि एक स्थानांतरण सर्किट में एक नकारात्मक एप्सिलॉन स्टेपिंग पत्थर नहीं हो सकता है। निश्चित रूप से, कारण यह है कि आप एक इकाई को एक सेल से घटा नहीं सकते हैं 'जिसमें एक यूनिट का केवल एक असीम हिस्सा होता है। इसलिए, एप्सिलॉन मात्रा को कोशिकाओं में पेश किया जाना चाहिए जो समाधान प्रक्रियाओं को समायोजित करते हैं।

1 + 1 = 1

1 - 1 = 1

ϵ - ϵ = 0

निम्नलिखित उदाहरण समझाएगा, पतित समाधान का अनुकूलन कैसे करें:

उदाहरण 3:

एक कंपनी के तीन कारखाने और पांच डीलर हैं। निम्नलिखित मैट्रिक्स के साथ, परिवहन लागत को कम करें। मैट्रिक्स एक प्रारंभिक समाधान दिखाता है जो पतित है

उपाय:

प्रारंभिक समाधान m + n - 1 = 3 + 5 - 1 = 7 व्याप्त कोशिकाओं के बजाय 6 के कारण पतित है।

एक तार्किक सुधार उच्च लागत एफ को खत्म करना है_ए-D3 मार्ग। निर्लिप्त सेल F_बी-D3 एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु बनाता है। मौजूदा पतित स्थिति में, एफ के चारों ओर एक स्टेपिंग स्टोन सर्किट बनाना असंभव है_बी-D3। एक एप्सिलॉन (ϵ) मात्रा शुरू की जानी चाहिए। Epsilon को F में जोड़ा जा सकता है_बी - D1 एक ट्रांसफर सर्किट को पूरा करने के लिए जैसा कि चित्र 11.29 में दिखाया गया है, लेकिन एप्सिलॉन स्टेपिंग स्टोन नकारात्मक है और परिणामस्वरूप केवल एक असंगत स्थानांतरण की अनुमति देता है।

एफ में एप्सिलॉन रखकर_ए-D2, यह सर्किट + (F (F) में एक पॉजिटिव ट्रांसफर dell बन जाता है_बी-ड 3) - (एफ_ए- डी 3) + (एफ)_ए-D2) - (एफ)_बी-D2) या (+ 16-30 + 24-14) = -Rs। 4 लागत या रु। एक इकाई (छवि 11.30) के हस्तांतरण से 4 बचत परिणाम।

इसलिए संशोधित समाधान निम्नानुसार है (चित्र। 11.31)।

पहले संशोधित समाधान (चित्र। 11.31) में, m + n - 1 = 3 + 5 - 1 = 7 और व्याप्त कोशिकाएँ भी 7 हैं, इसलिए अध: पतन समाप्त हो गया है।

अब, इस समस्या को पहले की तरह हमेशा के लिए हल किया जा सकता है, हालाँकि, हर संशोधन के बाद पतन की जाँच की जानी है। लागत को कम करने के लिए एक और लूप की कोशिश करना (चित्र 11.31)।

+ 16 - 20 + 18 - 16 = - रु। 2।

इस प्रकार, दूसरा संशोधन चित्र 11.32 में दिखाया गया है।

दूसरा संशोधन अंतिम इष्टतम समाधान है; सभी शेष मार्गों / छोरों से अधिक हस्तांतरण लागत प्रदर्शित होती है। इस प्रकार, न्यूनतम परिवहन लागत = (16 × 14) + (1 × 24) + (5 × 16) + (17 × 14) + (1 × 16) + (15 × 18) + (9 × 20)

= रु। 1032; जो रु। प्रारंभिक (पतित) समाधान के परिवहन लागत (1059 रुपये) से 27 कम।

सिम्प्लेक्स प्रक्रिया के मूल तत्व:

सरल विधि का वर्णन सर्वप्रथम वर्ष 1947 में डॉ। जीबी डेंटजिग द्वारा किया गया था और बाद में आगे के घटनाक्रमों के कारण यह लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं के समाधान के लिए एक उत्कृष्ट तकनीक बन गई। यह लीनियर प्रोग्रामिंग (उदाहरण के लिए, व्यावसायिक) दर्जनों चरों वाली समस्याओं के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण प्रदान करता है। समस्याएं जो संभवतः ग्राफिकल तकनीक से हल नहीं की जा सकती हैं, उनके लिए सिंपलेक्स विधि एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है। ग्राफिकल विधि के विपरीत, सिम्प्लेक्स विधि बीजगणितीय समीकरणों का उपयोग करती है।

सिंप्लेक्स विधि किसी भी संख्या में गतिविधियों को संभाल सकती है और उन समीकरणों को भी हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की तुलना में अधिक संख्या में अज्ञात हैं। मूल रूप से, सिम्प्लेक्स प्रक्रिया को एक तालिका बनाने की आवश्यकता होती है। चर और बाधाओं को इसमें प्रवेश किया जाता है और इष्टतम समाधान पर पहुंचने के लिए एक नियमित एल्गोरिथ्म के अधीन किया जाता है। एक बार एक समस्या के लिए सिम्प्लेक्स टेबल स्थापित हो जाने के बाद, इष्टतम समाधान के लिए प्रक्रिया केवल यांत्रिक होती है।

सिम्पलेक्स विधि, परिवहन विधि की तुलना में अधिक सामान्य है क्योंकि आवेदन का संबंध है और जहां परिवहन विधि नहीं हो सकती है वहां कार्यरत है।

सिम्पलेक्स प्रक्रिया:

(a) समस्या को एक समीकरण के रूप में व्यक्त करें।

(b) समस्या की बाधाओं को असमानताओं के रूप में व्यक्त करते हैं।

(c) अल्प चर को जोड़कर असमानताओं को समानता में परिवर्तित करें।

(डी) तथाकथित सिम्प्लेक्स तालिका में असमानताएं दर्ज करें। एक साधारण तालिका तालिका 11.33 में दी गई है।

(e) सिम्प्लेक्स टेबल को पूरा करें।

(च) खोए हुए और शुद्ध योगदान में योगदान की गणना करें और उन्हें सिम्प्लेक्स टेबल पर चिह्नित करें।

(छ) शुद्ध योगदान के उच्चतम मूल्य का पता लगाएँ और इसे एक तीर से चिह्नित करें।

(h) मात्रा स्तंभ मानों को तीर द्वारा चिह्नित कॉलम के संबंधित मानों से विभाजित करें और संबंधित आंकड़े (मान) प्राप्त करें।

(i) पंक्ति को प्रतिस्थापित करने के लिए निर्धारित करने के लिए इन आंकड़ों में से सबसे छोटे गैर-नकारात्मक मान का चयन करें।

(j) नई पंक्ति के सभी मानों की गणना करें।

(k) बाकी पंक्तियों के लिए मानों की गणना करें।

(l) खोए हुए योगदान और शुद्ध योगदान की गणना करें और उन्हें सिम्प्लेक्स टेबल पर चिह्नित करें।

(एम) शुद्ध योगदान या शुद्ध लाभ का कोई सकारात्मक मूल्य नहीं होने तक (एच) से (एल) तक के चरणों को दोहराएं। इसका तात्पर्य यह है कि लाभ बढ़ाने के लिए मिश्रण में और कुछ भी नहीं डाला जा सकता है और इसलिए यह इष्टतम समाधान है।

उदाहरण 4:

एक फर्नीचर निर्माता लकड़ी के रैक (एक्स) और खाट (वाई) बनाता है। ये उत्पाद दो वर्गों में पूरे होते हैं। प्रत्येक रैक Re के लाभ में योगदान देता है। 1 और 5 रुपये की प्रत्येक खाट। पहले खंड में प्रत्येक रैक को 5 घंटे और प्रत्येक खाट को 6 घंटे प्रसंस्करण की आवश्यकता होती है। इसी तरह सेक्शन नंबर 2 में प्रत्येक रैक में 3 घंटे हैं और प्रत्येक कॉट में 2 घंटे का काम है। निर्माता को अपने लाभ का अनुकूलन करने के लिए दिलचस्पी है अगर दोनों वर्गों को क्रमशः 30 और 12 घंटे से अधिक नहीं लिया जा सकता है।

उपाय:

समस्या इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है:

सुस्त चर को जोड़कर असमानताओं को दूर किया जा सकता है। सुस्त चर प्रत्येक खंड में अप्रयुक्त समय का प्रतिनिधित्व करते हैं जो कि कोई लाभ नहीं देता है, अर्थात, जो लाभ की दिशा में कुछ भी योगदान नहीं देता है। चूँकि समान चर सभी समीकरणों में दिखाई देते हैं, उन चर जिनका समीकरण पर कोई प्रभाव नहीं होता है, उन्हें शून्य गुणांक दिया जाता है, उदाहरण के लिए, (1) उपरोक्त को फिर से लिखा गया है, अधिकतम विषय के अधीन

(2) में दिए गए आंकड़ों से, सिम्प्लेक्स टेबल (चित्र। 11.34) का निर्माण किया जाता है।

प्रारंभिक समाधान (चित्र। 11.34) में कोई आउटपुट नहीं है, सभी समय अप्रयुक्त है और कोई योगदान या लाभ नहीं है, अर्थात, प्रारंभिक समाधान शून्य लाभ (पीटीएम) समाधान है। इस बिंदु तक, (f) तक के चरण पूरे हो चुके हैं।

स्टेप-छ:

शुद्ध योगदान का उच्चतम मूल्य 5 है और इसे एक तीर द्वारा चिह्नित किया गया है (चित्र 11.34)।

स्टेप-ज:

30/6=5

12/2=6

स्टेप-मैं:

मान 5 चयनित है।

चरण-जम्मू और कश्मीर:

मान 5 का चयन करना-य और इसका लाभ S की जगह लेगा₁, और इसका शून्य लाभ। पंक्ति को (D) 6 से विभाजित करें और फिर से लिखें।

स्टेप-मी:

समीकरण (j) की जाँच करने पर पता चलता है कि शुद्ध योगदान (NC) का कोई सकारात्मक मूल्य नहीं है। इसलिए यह इष्टतम समाधान है। इष्टतम लाभ Z = रु। 25, (PTM मान चिह्नित)।

यह एक सरल समस्या थी जिसे दूसरे समाधान में अनुकूलित किया जा सकता था। अधिक जटिल समस्याओं में कई पुनरावृत्तियों शामिल हैं।

तकनीक # 2। प्रतीक्षारत पंक्ति या पंक्तिबद्ध सिद्धांत:

क्युइंग सिद्धांत पर मूल कार्य का श्रेय एके एर्लांग को जाता है। उन्होंने स्वत: डायल उपकरणों के उपयोग पर उतार-चढ़ाव वाली सेवा की मांग के प्रभाव का पता लगाने के लिए, 1905 में शुरू किया था। लेकिन आज, वेटिंग लाइन मॉडल द्वारा विभिन्न प्रकार की समस्या स्थितियों का वर्णन किया जा सकता है।

रोजमर्रा की दिनचर्या में एक कतार या प्रतीक्षा रेखा बहुत आम है। बस के लिए कतार है, राशन की दुकान पर कतार है, सिनेमा के टिकट के लिए कतार है और जहां नहीं है। कतार में खड़े रहने से बहुत उपयोगी समय बर्बाद होता है। रोजमर्रा के अनुभव के अलावा, दुकान की मंजिल पर कतारें देखी जा सकती हैं, जहां इन-प्रोसेस माल अगले ऑपरेशन या निरीक्षण के लिए या किसी अन्य स्थान पर स्थानांतरित होने की प्रतीक्षा करते हैं। उत्पादन लाइनों में इस तरह की देरी स्वाभाविक रूप से, उत्पादन चक्र की अवधि में वृद्धि, उत्पाद की लागत में वृद्धि, पूरे सिस्टम को परेशान कर सकती है और यह निर्दिष्ट डिलीवरी की तारीखों को पूरा करने के लिए संभव नहीं हो सकता है जिससे शक्तिशाली ग्राहकों को परेशान किया जा सकता है।

जब भी आने वाली वस्तुओं की संख्या उस संख्या से अधिक हो जाती है जिसे संसाधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सौ हाथ उपकरण प्रति यूनिट समय इलेक्ट्रोप्लेटिंग सेक्शन तक पहुंचते हैं और केवल अस्सी को उस अवधि के भीतर चढ़ाया जा सकता है, तो स्वाभाविक रूप से एक कतार स्थापित की जाएगी जिसमें कई हाथ उपकरण मढ़वाने के लिए इंतजार कर रहे होंगे।

प्रतीक्षा की जाने वाली लाइनें यदि (आर्थिक रूप से) पूरी तरह से समाप्त नहीं की जा सकती हैं, तो उन्हें कम से कम सेवा स्टेशनों की संख्या का अनुकूलन करके, या सेवा समय को एक या अधिक सेवा स्टेशनों में समायोजित करके कम किया जा सकता है।

प्रतीक्षा रेखा सिद्धांत या कतारबद्ध सिद्धांत का उपयोग कतार बनाने की स्थितियों को हल करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, डाकघरों, बैंकों, अस्पतालों, टेलीफोन बूथों या एक्सचेंजों आदि में। कतारिंग सिद्धांत सुविधाओं (उपकरण, जनशक्ति) को जोड़ने की व्यवहार्यता का विश्लेषण करता है और राशि का आकलन करता है और प्रतीक्षा समय की लागत। सामान्य तौर पर, इस सिद्धांत को लागू किया जा सकता है जहां भी भीड़ होती है और एक प्रतीक्षा रेखा या एक कतार बनती है।

ऐसी स्थितियों में उद्देश्य सुविधाओं की अधिकतम मात्रा (जनशक्ति, मशीनरी, आदि) का निर्धारण करना है। कतारिंग सिद्धांत आने और जाने वाली वस्तुओं के बीच संतुलन की कमी को खोजने में मदद करता है। यह चोटी के भार के बारे में जानकारी देता है। यह गणितीय रूप से कतार और प्रतीक्षा समय की लंबाई और नियंत्रणीय कारकों से संबंधित है, जैसे कि सेवा स्टेशनों की संख्या या प्रत्येक लेख को संसाधित करने में लगने वाला समय। यह भी बता सकता है कि कतार में कितनी बार और कितनी बार वस्तुओं या व्यक्तियों को इंतजार करना होगा।

क्युइंग सिद्धांत गणितीय रूप से उस तरीके की भविष्यवाणी करता है जिसमें प्रतीक्षा रेखा दी गई अवधियों में विकसित होगी और बदले में स्थिति को कुशलता से निपटने के लिए सुविधाएं आवंटित करने में मदद करती है।

एक कतार बनाने की स्थिति के लिए एक गणितीय मॉडल बनाने के लिए, अर्थात, जहां आइटम या व्यक्ति यादृच्छिक तरीके से आते हैं, संसाधित होते हैं या इलाज किए जाते हैं (प्रसंस्करण समय फिर से एक यादृच्छिक चर है) और फिर छोड़ दें, निम्नलिखित जानकारी की आवश्यकता है:

(ए) वस्तुओं के आगमन के बीच अंतराल का वितरण। कहते हैं कि हर दस मिनट के बाद एक टेलीफोन कॉल आता है।

(b) सेवा समय का वितरण। कहें कि हर बार तीन मिनट के लिए एक टेलीफोन वार्ता जारी रहती है।

(c) प्राथमिकता प्रणाली।

(d) प्रोसेसिंग सुविधाएं (यह एक डॉक्टर या एक मैकेनिक हो सकती हैं)।

अधिकांश वेटिंग लाइन मॉडल आगमन (जहर वितरण कहते हैं) और सेवा समय (घातीय कहें) का एक विशिष्ट वितरण मानती हैं। उपर्युक्त चार बिंदुओं (मॉडल) को जानने के बाद प्रतीक्षा की गई स्थिति का गणितीय रूप से अध्ययन और विश्लेषण किया जा सकता है।

कतारें बनाने की संरचनाएँ:

(1) आने वाली इकाइयाँ या व्यक्ति एक पंक्ति बनाते हैं और केवल एक सुविधा के माध्यम से सेवित होते हैं। उदाहरण के लिए, लोग डाकघर की खिड़की पर डाक टिकट इकट्ठा करने के लिए कतार में खड़े हैं, और टिकट बेचने के लिए खिड़की पर केवल एक क्लर्क बैठा है। इसे सिंगल चैनल, सिंगल फेज केस, चित्र 11.36 (1) कहा जाता है।

(2) आगमन इकाइयाँ या व्यक्ति एक लाइन बनाते हैं लेकिन एक से अधिक सेवा सुविधा या सर्विस स्टेशन होते हैं, जैसे कि नाई की दुकान में एक बार में एक से अधिक नाई काम करते हैं। यह एक मल्टीचैनल, सिंगल फेज केस, चित्र 11.36 (2) है।

(३) सिंगल चैनल मल्टीपल फेज़ केस नामक एक अन्य संरचना में, इकाइयाँ इकाइयाँ फिर से एक पंक्ति बनाती हैं, लेकिन श्रृंखला में कई सर्विस स्टेशन हैं, चित्र ११.३६ (३)।

(4) अंत में, मल्टीचैनल मल्टीपल फेज़ केस में दो या दो से अधिक समानांतर सर्विसिंग लाइनें होती हैं, चित्र ११.३६ (४)। उदाहरण-एक सुपर-मार्केट के चेकआउट काउंटर।

प्रतीक्षा रेखा सिद्धांत में शामिल मान्यताओं:

इस अध्याय में कतारबद्ध सिद्धांत के उपचार के संबंध में, निम्नलिखित धारणाएँ की गई हैं:

(ए) केवल एक प्रकार का कतार अनुशासन है-जो पहले आओ, पहले पाओ। जैसे ही स्टेशन खाली होगा कतार में एक यूनिट तुरंत सर्विस स्टेशन पर जाएगी।

(b) स्थिर स्थिति (स्थिर) स्थितियां हैं, अर्थात, संभावना है कि n आइटम किसी भी समय कतार में हैं, समय बीतने के साथ ही रहता है। दूसरे शब्दों में, हर समय कतार में वस्तुओं की संख्या समान रहती है; कतार समय के साथ अनिश्चित काल तक नहीं चलती है।

(c) दोनों, किसी भी पल में कतार में मौजूद वस्तुओं की संख्या और किसी विशेष आइटम द्वारा अनुभव किए गए प्रतीक्षा समय यादृच्छिक चर हैं। वे कार्यात्मक रूप से समय पर निर्भर नहीं होते हैं। इस प्रकार समस्या किसी भी पल, आदि पर कतार की औसत लंबाई का अनुमान लगाने के लिए कम हो जाती है।

(d) आगमन दर पोइसन वितरण का अनुसरण करती है और सेवा समय घातांक वितरण का अनुसरण करती है। यह स्थिति, जिसे पॉइसन अरिवल्स एंड एक्सपोनेंशियल सर्विस टाइम्स के रूप में संदर्भित किया गया है, वास्तविक परिचालन स्थितियों की संख्या में अच्छी है।

(ई) औसत सेवा दर) मतलब आगमन दर एम से अधिक है।

Poisson आगमन और घातीय सेवा टाइम्स:

पॉसों आगमन:

नेल्सन द्वारा आगमन, सेवा समय और नौकरी की दुकान उत्पादन प्रक्रिया के प्रतीक्षा समय वितरण पर किए गए अध्ययनों से; ईस्टमैन कोडक कंपनी और OJ Feorene, आदि द्वारा, यह सुरक्षित रूप से निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तविक वास्तविक स्थितियों में आगमन दर का वितरण पॉसों के वितरण से काफी भिन्न नहीं है। Poisson वितरण मानता है कि एक आगमन पूरी तरह से अन्य आगमन से स्वतंत्र है, अर्थात, वे पूरी तरह से यादृच्छिक हैं।

सामान्य और घातीय वितरण के विपरीत, पॉइसन वितरण एक असतत वितरण है। दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों को अलग किया जाता है, अर्थात, असतत - उदाहरण के लिए, एक टोकरी में अच्छे आमों की संख्या, एक सिक्के के एन टॉसेज़ में सिर की संख्या, आदि।

Poisson वितरण चित्र 11.37 में दिखाया गया है और इसके कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:

घातीय सेवा टाइम्स:

नेल्सन और ब्रिघम द्वारा किए गए अध्ययनों के परिणाम अलग-अलग परिणाम दिखाते हैं। नेल्सन के अनुसार, एक्सपोनेंशियल मॉडल वास्तविक वितरण को पर्याप्त रूप से फिट नहीं करता है। उनके अनुसार, हाइपर-एक्सपोनेंशियल और हाइपर-एरलंग जैसे अन्य (गणितीय) वितरण वास्तविक दुनिया के वितरण के बेहतर विवरण थे। लेकिन, ब्रिघम ने दिखाया कि टूल क्रिब में सेवा का समय लगभग वितरण योग्य था। वितरण के प्रकार को संभालने से पहले बहुत सावधान रहना होगा।

हालांकि घातीय वितरण बड़ी संख्या में स्थितियों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, फिर भी इसका उपयोग गणितीय उपचार और व्युत्पन्नता की सादगी के कारण किया जाता है। अन्य वितरण गणितीय विकास को बहुत जटिल बना सकते हैं और सिमुलेशन (मोंटे-कार्लो) तकनीकों द्वारा समस्या को हल करने के लिए आवश्यक हो सकते हैं।

पॉइसन वितरण के विपरीत, घातीय वितरण एक सतत वितरण है। रैंडम वैरिएबल में मूल्यों की निरंतरता शामिल होती है जैसे कि, सुबह का तापमान, दो घटनाओं आदि के बीच का समय k (X- एक्सिस) पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों मान ले सकता है, ताकि वितरण निरंतर हो जाए।

अंजीर। 11.38 से पता चलता है कि घातांक वितरण और इसके कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:

कतार को नियंत्रित करने वाले समीकरण:

सिस्टम में एन = एन इकाइयों की संख्या (कुल संख्या-कतार के साथ-साथ सेवा के तहत)।

पी_n = संभावना है कि किसी भी समय सिस्टम में एन इकाइयां हैं।

म = मीन आगमन दर।

µ = मीन सेवा दर।

किसी भी समय टी में कतार में n इकाइयों की संभावना को जानने के बाद, समय (r + calculatedt) में n इकाइयों को प्राप्त करने की संभावना की गणना निम्नलिखित चार पारस्परिक अनन्य घटनाओं (ए, बी, सी) की संभावनाओं को संक्षेप में करके की जा सकती है। डी)।

निम्नलिखित उदाहरण वेटिंग लाइन की समस्याओं को हल करने के तरीके के रूप में एक विचार देंगे:

उदाहरण 5:

एक टेलीफोन बूथ पर, एक आदमी के आने और अगले 10 मिनट के बीच का औसत समय और आगमन को पोइसन माना जाता है। फोन का उपयोग करने का औसत समय 4 मिनट है और इसे तेजी से वितरित माना जाता है।

गणना (1) संभावना है कि एक आदमी को आने के बाद इंतजार करना होगा; (2) समय-समय पर बनने वाली प्रतीक्षा रेखाओं की औसत लंबाई; (३) दूसरे टेलीफोन बूथ की स्थापना को सही ठहराने के लिए आवक का प्रवाह कितना बढ़ जाना चाहिए। मान लें कि दूसरा बूथ केवल तभी प्रदान किया जा सकता है जब किसी व्यक्ति को फोन के लिए न्यूनतम 4 मिनट इंतजार करना पड़े।

उपाय:

10 मिनट में एक आगमन होता है।

इसलिए 1 मिनट में 1/10 आगमन होते हैं।

M = 1/10 = 0.1 प्रति मिनट की आवक।

सेवा का समय प्रति मिनट 4 मिनट है।

इसलिए Therefore = 1/4 या 0.25 सेवाएं प्रति मिनट।

(1) पी, संभावना है कि एक को इंतजार करना है = 1 - पी₀

समीकरण (i) से

पी₀ = 1-एम / µ या 1-पी₀ = एम / µ

इस प्रकार P (1) से ऊपर = 1 - P₀ = एम / µ = 0.1 / 0.25 = 0.4

(२) प्रतीक्षा रेखाओं या कतारों की औसत लंबाई जो समय-समय पर या गैर-रिक्त कतारों की औसत लंबाई समीकरण (m) द्वारा दी जाती है।

एल_neq = = / µ-M = 0.25 / 0.25-0.1 = 1.66 व्यक्ति

(3) मतलब आगमन का प्रतीक्षा समय समीकरण (o) द्वारा दिया जाता है

डब्ल्यू_म = एम / µ (µ-M)

4 = एम / 0.25 (0.25-एम¹); म¹ 4 मिनट के प्रतीक्षा समय के अनुसार प्रति मिनट नई आगमन होता है, जो एम देता है¹ = 0.125 आगमन प्रति मिनट।

इस प्रकार आवक का प्रवाह 0.1 प्रति मिनट से 0.125 प्रति मिनट या 0.1 x 60 तक बढ़ जाना चाहिए, अर्थात 6 प्रति घंटे से 7.5.or 8 घंटे प्रति घंटा।

क्युइंग थ्योरी के अनुप्रयोग:

जहाँ भी कतार के रूप में कतारबद्ध सिद्धांत लागू होता है।

कुछ स्थानों पर जहां ऐसी स्थिति हो सकती है:

(ए) सुपर बाजार,

(ख) डाकघर,

(c) टेलीफोन स्विच-बोर्ड,

(d) पेट्रोल पंप,

(ई) स्टोर / गोदाम,

(च) टोल हाउस,

(छ) मरम्मत और रखरखाव अनुभाग,

(ज) अस्पताल / चिकित्सक,

(i) पोर्ट (प्रवेश करने वाले जहाज),

(जे) कंप्यूटर केंद्र,

(k) असेंबली लाइन्स,

(l) बस स्टॉप,

(एम) सड़क या रेलवे क्रॉसिंग पर ऑटो ट्रैफ़िक,

(एन) नौकरी की दुकान उत्पादन प्रक्रिया,

(ओ) बीमा कंपनियों,

(पी) बैंक, और

(क्यू) उपकरण पालना।

क्यूइंग थ्योरी उनके कुशल कामकाज के लिए उपरोक्त स्थितियों में आवश्यक व्यक्तियों, उपकरणों या अन्य सुविधाओं की संख्या तय करने में मदद करती है।

तकनीक 1 टीटी 3 टी 3. लक्ष्य प्रोग्रामिंग:

लक्ष्य प्रोग्रामिंग रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए एक विशेष दृष्टिकोण है। यह दृष्टिकोण कई उप उद्देश्यों के साथ एकल उद्देश्य को संभालने में सक्षम है। निचले स्तर के उद्देश्यों को अंतिम समाधान में लाने से पहले उच्च स्तर के उद्देश्यों को अधिकतम या न्यूनतम किया जा सकता है। इसलिए वरीयता उन उद्देश्यों को दी जाती है जो एक संगठन के लिए अधिक महत्व रखते हैं। इन उद्देश्यों को लक्ष्य कहा जाता है।

लक्ष्य प्रोग्रामिंग की विधि (GP):

लक्ष्य प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के लिए, हम पुनरावृत्त चरणों की एक श्रृंखला का पालन करते हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग की सरल पद्धति के साथ, अंतिम उत्तर निर्धारित होने तक एक एल्गोरिथ्म नियोजित किया जाता है।

जीपी समस्या को हल करने के लिए हमें जिन विशिष्ट चरणों का पालन करना चाहिए वे हैं: -

चरण -1: उपयुक्त विचलन चर के लिए मॉडल निरूपण की समीक्षा करें:

चूंकि हमें जीपी समस्याओं को तैयार करने के लिए लक्ष्यों को रैंक करने की आवश्यकता होती है, इसलिए हमें एक प्रकार के चर की आवश्यकता होती है, जिसका उपयोग बताए गए लक्ष्यों की कमियों या अतिवृद्धि को प्रतिबिंबित करने के लिए किया जा सकता है, और इस प्रकार के चर को विचलन चर कहा जाता है।

यद्यपि लक्ष्य प्रोग्रामिंग समस्या में चर और अवरोध समीकरणों को विकसित करने के लिए प्रक्रियाओं का पालन किया जाता है, लेकिन रैखिक प्रोग्रामिंग की सरल पद्धति में उन लोगों को शामिल किया जाना चाहिए, जहां आवश्यक रूप से वर्णित समस्या का वर्णन करने के लिए, जहां आवश्यक हो, विचलन चर शामिल किए जाने चाहिए।

चरण -2: सिम्पलेक्स विधि (संशोधित) का उपयोग करके हल करें:

रैखिक प्रोग्रामिंग की सरल विधि के पुनरावृत्त प्रक्रियाओं का उपयोग करके एक जीपी समस्या को हल किया जा सकता है। यदि समस्या में कई उप-लक्ष्यों के साथ एक ही लक्ष्य है, तो झांकी की संरचना को बदलने की आवश्यकता नहीं है।

दूसरी ओर, यदि समस्या कई उप-लक्ष्यों के साथ कई लक्ष्यों का इलाज करती है, तो एक अतिरिक्त जेड_जे पंक्ति और सी_जी-Z_जे पंक्ति को प्रत्येक प्राथमिकता कारक (यानी, P के लिए) जोड़ा जाना चाहिए_1, पी_2, पी₃...। )। यह बढ़ी हुई झांकी संरचना उन सभी लक्ष्यों के मूल्यांकन की अनुमति देती है जो समस्या के समाधान पर असर डालते हैं। ध्यान दें कि सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके प्राप्त उत्तर, सभी इच्छित लक्ष्यों तक पहुंचने के लिए यथासंभव निकट आने के संदर्भ में सबसे अच्छा समाधान प्रदान करता है।

पहले चरण में, सरल विधि के लिए अभिकलन करना शुरू करते समय, आधार को दर्ज करने वाले प्रत्येक चर की एक इकाई से वस्तुनिष्ठ कार्य में संभावित हानि की गणना की जाती है और इसे Z नामक पंक्ति में लिखा जाता है।_जे रो (जहाँ j वैरिएबल कॉलम है)। दूसरा, चूंकि लाभ को फ़ंक्शन फ़ंक्शन पंक्ति (C कहा जाता है) में प्रत्येक चर की एक इकाई के लिए जाना जाता है_जे पंक्ति), एक लाभ का शुद्ध परिणाम सभी बुनियादी और गैर-बुनियादी चर के लिए इसका नुकसान शून्य है, सी में मान होगा_जे-Z_जे पंक्तियों।

गोल प्रोग्रामिंग, जैसे रैखिक प्रोग्रामिंग प्रबंधकीय जवाब देने के लिए संवेदनशीलता विश्लेषण के लिए कॉल करेगी यदि प्रश्न क्या हो।

लक्ष्य प्रोग्रामिंग के अनुप्रयोग:

(1) संगठन के उद्देश्यों का चयन:

यह निर्धारित करने में मदद करता है कि किसी संगठन के संसाधनों की विशाल क्षमता का एहसास करने के लिए प्रबंधक को किस प्रकार के उद्देश्य और रणनीतियों को नियुक्त करना चाहिए।

(2) बिक्री लक्ष्यों की स्थापना:

स्थापित ग्राहकों बनाम नए पर खर्च किए जाने वाले समय का निर्धारण करने में प्रबंधक की सहायता करता है।

(3) उत्पादन की योजना बनाना:

आने वाले समय के लिए उत्पादन कोटा के नियोजन और शेड्यूलिंग में प्रबंधक को सहायता करता है।

(4) कार्य बल की योजना बनाना:

अधिक प्रभावी भर्ती और छंटनी प्रक्रियाओं, ओवरटाइम प्रथाओं और इस तरह के माध्यम से पेरोल व्यय को कम करने में सहायता करता है।

(5) गुणक समयबद्धन:

मल्टीप्लांट शेड्यूलिंग समस्या का विश्लेषण

(6) पूंजी परियोजना मूल्यांकन:

प्रबंधक को यह निर्धारित करने में मदद करता है कि नई पूंजी परियोजनाओं पर क्या निवेश राशि रखी जाए।

तकनीक # 4। संवेदनशीलता विश्लेषण:

यदि किसी प्रबंधक को एक अनुमान के अनुरोध के जवाब में संभावित परिणामों की व्यवस्था करने की क्षमता दी जाती है, तो इससे प्रबंधक के मन में चिंता कम हो जाएगी जो अनुमान का उत्पादन करना चाहिए। यदि सीमा से पता चलता है कि सबसे अनुकूल अनुमान एक अनुकूल परिणाम पैदा करता है, फिर भी कोई चिंता नहीं है। लेकिन अगर कम से कम अनुकूल अनुमान एक प्रतिकूल परिणाम पैदा करता है, तो वास्तव में चिंता करने की बहुत आवश्यकता है क्योंकि यदि यह कम से कम अनुकूल, निचला पक्ष अनुमान पास करना चाहिए, तो फर्म मुश्किल में पड़ सकता है।

इसलिए पूर्वानुमान की प्रक्रिया का एक हिस्सा किसी भी अत्यंत महत्वपूर्ण या संवेदनशील क्षेत्रों को उजागर करने के लिए होना चाहिए, यदि क्या हो ... सवाल जैसे अगर बिक्री 25% तक गिर गई तो लाभप्रदता और तरलता का क्या होगा? क्या होगा अगर ग्राहकों को एक महीने के बजाय अपने खातों का भुगतान करने में तीन महीने लग गए? और इसी तरह। पूर्वानुमान के इस पहलू को संवेदनशीलता विश्लेषण कहा जाता है।

संवेदनशीलता विश्लेषण की वस्तु, प्रस्तुत किए गए अनुमानों की सीमा के भीतर सभी संभावित परिणामों के पुनरावृत्ति संयोजन द्वारा, उन महत्वपूर्ण कारकों या प्रमुख चर के पूर्वानुमान को अलग करना है, जिनमें भिन्नताएं वित्तीय भाग्य पर सबसे महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ने की संभावना है। दृढ़। प्रबंधन का ध्यान तब इन प्रमुख चर पर केंद्रित होना चाहिए क्योंकि ये हत्यारे क्षेत्र हैं: वे क्षेत्र जहाँ सर्वोत्तम अनुमान अनुमान की गुणवत्ता में सुधार करने के लिए अधिक जानकारी प्राप्त करने के लायक है; ऐसे क्षेत्र जहां बीमा का कुछ रूप मांगा जा सकता है; ऐसे क्षेत्र जहां पूर्वानुमानित पूर्वानुमानों और वास्तविक नकदी प्रवाह दोनों की निगरानी में बाद की सतर्कता सबसे मजबूत होनी चाहिए ताकि आसन्न वित्तीय संकट की जल्द से जल्द चेतावनी दी जा सके।

यह जोर दिया जाना चाहिए कि संवेदनशीलता विश्लेषण एक अपेक्षाकृत सरल और अपरिष्कृत अवधारणा है: इसका तात्पर्य यह है कि कई पूर्वानुमान एकल प्रक्रिया अनुमानों से एक पूर्वानुमान का उत्पादन करने के बजाय प्रक्रिया में प्राप्त अनुमानों की एक सीमा से उत्पन्न होते हैं। इस प्रकार यह फर्म और अधिक आसानी से यह पता लगाने में सक्षम है कि किन परिस्थितियों में इसे जोखिमों से जोड़ा जा सकता है जो कि इसका सामना नहीं करना पसंद करेंगे। सबसे अच्छे रूप में ये जोखिम नकदी प्रवाह की निरंतरता में एक विराम का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं ताकि फर्म के लिए आवश्यक माने जाने वाले कुछ प्रबंधन निर्णयों को विफल किया जा सके; सबसे खराब रूप से वे दिवालियेपन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

तकनीक # 5। गतिशील प्रोग्रामिंग:

डायनेमिक प्रोग्रामिंग एक नई विकसित गणितीय तकनीक है जो कई प्रकार की निर्णय समस्याओं में उपयोगी है। कई व्यावसायिक समस्याएं, एक नियम के रूप में, एक सामान्य विशेषता साझा करती हैं: वे स्थिर हैं। यही है, समस्याओं को एक निश्चित समय पर होने वाली कुछ विशिष्ट स्थिति के संदर्भ में बताया और हल किया जाता है। हालाँकि, अन्य समस्याओं का संबंध उन बदलावों से है जो समय के साथ या कुछ घटनाओं के अनुक्रम से होते हैं और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग नामक एक अन्य प्रबंधन विज्ञान का उपयोग किया जाता है।

डायनेमिक प्रोग्रामिंग बुनियादी रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीक का विस्तार है। जब किसी समस्या को समय के साथ बदलते अपने मापदंडों के संदर्भ में माना जाता है, तो रैखिक प्रोग्रामिंग जैसी तकनीक अब लागू नहीं होती हैं और डायनामिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करना पड़ता है क्योंकि इसमें समय तत्व शामिल होता है। डायनामिक प्रोग्रामिंग का विकास रिचर्ड बेलमैन और जीबी डेंटज़िग द्वारा किया गया था, जिनकी मात्रात्मक तकनीक में महत्वपूर्ण योगदान पहली बार 1950 के दशक में प्रकाशित हुआ था।

अपने सरलतम अर्थों में, गतिशील प्रोग्रामिंग को बड़ी, जटिल समस्याओं को छोटी समस्याओं की एक श्रृंखला में तोड़ने के प्रयास के रूप में माना जा सकता है जो अलग से हल करना आसान है। दूसरे शब्दों में, गतिशील प्रोग्रामिंग समस्या को कई उप-समस्याओं या निर्णय चरणों में विभाजित करता है। एक चरण और अगले के बीच सामान्य पुनरावृत्ति संबंध समस्या का वर्णन करते हैं। निर्णय चरणों की संख्या है और प्रत्येक चरण में कार्रवाई के कई वैकल्पिक पाठ्यक्रम हैं। चरण एक द्वारा उत्पन्न निर्णय, चरण दो और इतने पर के लिए समस्या की स्थितियों के रूप में कार्य करता है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक चरण में निर्णय और निर्णय का एक विकल्प होता है, शुरू में लिए गए निर्णय बाद के निर्णयों की पसंद को प्रभावित करते हैं। निर्णय लेने के विभिन्न नियम प्रत्येक निर्णय (अलग-अलग) के प्रभावों और आगे के निर्णयों के लिए इष्टतम नीति पर विचार करने के बाद स्थापित किए जा सकते हैं। डायनेमिक प्रोग्रामिंग का आधार अंतिम संभावित वैकल्पिक निर्णयों में सर्वश्रेष्ठ का चयन करना है। इस प्रक्रिया को फिर से दोहराया जाता है, उन सभी विकल्पों को अनदेखा करता है जो चयनित सर्वश्रेष्ठ (इष्टतम) को जन्म नहीं देते।

इस प्रकार निर्णयों का सबसे अच्छा क्रम इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है, उपरोक्त प्रक्रिया को दोहराकर। डायनेमिक प्रोग्रामिंग उन समस्याओं से भी संबंधित है जिनमें समय प्रासंगिक चर नहीं है; उदाहरण के लिए, उस मामले में जहां कई वैकल्पिक उपयोगों के बीच निश्चित मात्रा में संसाधनों के आवंटन के रूप में एक निर्णय किया जाना चाहिए। समस्याओं के समाधान के लिए एक गतिशील समस्या दृष्टिकोण फायदेमंद है जहां निर्णयों का एक क्रम होना चाहिए। भले ही गलत या कम-से-इष्टतम निर्णय अतीत में किए गए हों, गतिशील प्रोग्रामिंग अभी भी भविष्य की अवधि के लिए निर्णय लेने में सक्षम बनाता है।

निम्नलिखित मूल नियम और अवधारणाएं गतिशील प्रोग्रामिंग के सिद्धांत के लिए केंद्रीय हैं:

1. राज्य चर:

ये चर हैं जिनके मूल्य प्रक्रिया की शर्तों को निर्दिष्ट करते हैं। राज्य चर के मूल्य हम सभी को बताते हैं कि हमें निर्णय लेने के उद्देश्य से प्रणाली के बारे में जानना चाहिए। उदाहरण के लिए, उत्पादन समस्या में, हमें राज्य चर की आवश्यकता हो सकती है जो संयंत्र क्षमता और वर्तमान सूची से संबंधित हैं। राज्य चर की संख्या जितनी कम होगी, समस्या को हल करना उतना ही आसान होगा।

2. निर्णय चर:

ये राज्य चर (संभवतः एक संभाव्य तरीके से) को बदलने के अवसरों का गठन करते हैं, और कुछ समय की अवधि में राज्य चर में शुद्ध परिवर्तन काफी अनिश्चितता के अधीन होगा। प्रत्येक निर्णय से उत्पन्न रिटर्न उस निर्णय के लिए शुरू और समाप्त होने वाले राज्यों पर निर्भर करेगा, इसलिए वे निर्णय के अनुक्रम के रूप में जोड़ देंगे। परिस्थितियों के आधार पर, कार्य ऐसे निर्णय करना है जो किसी निश्चित उद्देश्य को अधिकतम या कम करेगा।

3. मंचन:

विभिन्न चरणों (या समय में अंक) में कुछ समस्या के बारे में निर्णय लेने की क्षमता, गतिशील प्रोग्रामिंग समस्या निर्माण की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। समस्याओं में जहां घटनाओं की एक श्रृंखला के माध्यम से निर्णय किए जाते हैं, चरणों को घटनाओं द्वारा दर्शाया जाता है। किसी समस्या के प्रत्येक चरण में, राज्य को बदलने का निर्णय लिया जाता है और, एक निश्चित उद्देश्य को अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है। फिर, अगले चरण में, राज्य के चर के मूल्यों का उपयोग करके निर्णय किए जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप पूर्ववर्ती निर्णय और उसके बाद परिणाम होते हैं।

समाधान अंत में पीछे की ओर (या आगे की ओर, यदि वांछित हो), मंच द्वारा मंच, और समय के प्रत्येक चरण में प्रत्येक राज्य चर के लिए इष्टतम नीति (यानी, निर्णय का सेट) निर्धारित करके पहुंचा जाता है, जब तक कि समग्र इष्टतम नीति सामने नहीं आई है। अंतिम चरण।

यह देखने के लिए कि ऊपर बताई गई अवधारणाएँ किसी समस्या में कैसे लागू होती हैं, निम्नलिखित प्रश्न पर विचार करें:

"अगले तीन महीनों के लिए न्यूनतम लागत उत्पादन कार्यक्रम क्या है?"

यदि राज्य चर सूची है,

निर्णय चर उत्पादन का स्तर है, और

प्रत्येक माह एक चरण है, फिर

इस समस्या के अनुक्रमिक, मल्टीस्टेज निर्णय लेने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग सूत्रीकरण निम्नानुसार है:

4. उद्देश्य:

अन्य प्रबंधन विज्ञान मॉडल के साथ, एक गतिशील प्रोग्रामिंग समस्या के लिए एक उद्देश्य (यानी, एक उद्देश्य समारोह) की आवश्यकता होती है। एक विशिष्ट उद्देश्य कुल लाभ को अधिकतम करना या कुल लागत को कम करना हो सकता है।

डायनामिक प्रोग्रामिंग की पद्धति:

निम्नलिखित चरण गतिशील प्रोग्रामिंग की मूल कार्यप्रणाली का गठन करते हैं:

चरण -1: एक उपयुक्त गणितीय मॉडलिंग तकनीक का निर्धारण करें:

समस्या को हल करने के लिए डायनामिक प्रोग्रामिंग की कार्यप्रणाली के पहले चरण में, उपयुक्त गणितीय तकनीक, या तो मानक या कस्टम-मेड, का चयन किया जाता है।

स्टेप -2: मल्टीस्टेज प्रॉब्लम सॉल्विंग एप्रोच का उपयोग करके ऑब्जेक्टिव फंक्शन के लिए हल:

मल्टीस्टेज समस्या-समाधान दृष्टिकोण को नियोजित करने के लिए, समस्या को घटक चरणों में तोड़ना आवश्यक है। उपयुक्त गणितीय तकनीक का उपयोग करते हुए, समस्या के वांछित अंतिम परिणाम, चरण से चरण, इसकी शुरुआत तक पीछे की ओर बढ़ने से समाधान प्राप्त किया जाता है। इस प्रक्रिया में, प्रत्येक चरण में निर्णयों का एक इष्टतम सेट निर्धारित किया जाता है जो समय के साथ या घटनाओं की एक श्रृंखला के माध्यम से प्रबंधक को निर्णय लेने में मार्गदर्शन कर सकता है।

डायनामिक प्रोग्रामिंग के अनुप्रयोग:

डायनामिक प्रोग्रामिंग निम्नलिखित क्षेत्रों में अनुप्रयोग ढूंढती है: -

1. समयबद्धन उत्पादन।

2. निर्धारण उपकरण और मशीनरी ओवरहाल।

3. व्यापक रूप से उतार-चढ़ाव वाले वातावरण में रोजगार (श्रमिकों का) चौरसाई।

4. उपकरण प्रतिस्थापन नीति का निर्धारण।

5. अपेक्षित बिक्री को अधिकतम करने के लिए एक निश्चित बजट की कमी के भीतर विज्ञापन मीडिया के सर्वोत्तम संयोजन और उपयोग की सर्वोत्तम दक्षता का निर्धारण करके अपेक्षित बिक्री को अधिकतम करना।

6. दीर्घावधि में अधिकतम लाभ के लिए नए उपक्रमों को पूंजीगत धन आवंटित करना।

7. निवेश के अवसरों का मूल्यांकन: संसाधनों के सबसे लाभदायक निवेश या दिए गए अवसरों के बीच सबसे अच्छा विकल्प निर्धारित करता है।

8. मूल्यह्रास परिसंपत्तियों के प्रतिस्थापन के लिए सबसे अच्छी लंबी दूरी की रणनीति का निर्धारण।

रैखिक प्रोग्रामिंग और डायनामिक प्रोग्रामिंग के बीच अंतर:

(1) डायनेमिक प्रोग्रामिंग को एक मल्टी-स्टेज निर्णय लेने की प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है जो समय अंतराल को फैलाती है; हालाँकि, अंतराल में केवल चरण शामिल हो सकते हैं जिसमें समस्या हल हो जाती है। रेखीय प्रोग्रामिंग, इसके विपरीत, एक समाधान देता है जो दी गई क्षमता, मात्रा और योगदान (या लागत) बाधाओं के भीतर केवल एक समय अवधि से संबंधित होगा।

(2) गतिशील प्रोग्रामिंग के साथ, अतीत में गलत निर्णय सही निर्णय को वर्तमान या भविष्य में होने से नहीं रोक पाएंगे।

संक्षेप में, डायनेमिक प्रोग्रामिंग भविष्य के समय की अवधि के लिए किसी भी पूर्व निर्णय की परवाह किए बिना, रैखिक प्रोग्रामिंग के विपरीत, भविष्य के समय की अवधि के लिए अधिकतम निर्णय लेने की अनुमति देती है, जो कि किसी इष्टतम मान के लिए आवश्यक वर्तमान अवरोधों को प्रतिबिंबित करने के लिए प्राप्त किसी भी मूल्य के निरंतर अद्यतन की आवश्यकता होती है।

(3) गतिशील प्रोग्रामिंग रैखिक प्रोग्रामिंग की तुलना में अवधारणा की दृष्टि से अधिक शक्तिशाली है, लेकिन कम्प्यूटेशनल तकनीक के रूप में कमजोर है।

(4) डायनेमिक प्रोग्रामिंग कैलकुलस के समान है, जबकि रैखिक प्रोग्रामिंग एक साथ रैखिक समीकरणों के सेट को हल करने के लिए समान है।

(5) गतिशील प्रोग्रामिंग रैखिक प्रोग्रामिंग की तुलना में काफी अलग रूप लेती है; जबकि कुछ नियमों को हमेशा रैखिक प्रोग्रामिंग की पुनरावृत्ति प्रक्रिया में पालन किया जाना चाहिए, गतिशील प्रोग्रामिंग जो भी गणित को समस्या के समाधान के लिए उपयुक्त समझा जाता है उसका उपयोग करता है।

तकनीक # 6। नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग:

गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग में किए गए अधिकांश शोधों के लिए अंतर्निहित सिद्धांत को 1951 में कुह्न और टकर द्वारा एक पेपर में प्रस्तुत किया गया था। हालांकि, वास्तविक जीवन की गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं को सुलझाने में प्रमुख जोर 1960 के बाद बना था।

इस मामले में जहां या तो उद्देश्य फ़ंक्शन या बाधाएं गैर-रैखिक हैं, उपयोग गैर-रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीकों से बना है। गैर-रैखिकताएं मौजूद हैं, उदाहरण के लिए, जब एक फर्म को खरीदने के लिए अधिक लोगों को प्रेरित करने के लिए कीमतें कम करनी चाहिए। इनमें से कई ग़ैर-रेखीय स्थितियों में, रैखिक कार्यक्रमों का उपयोग सन्निकटन के रूप में किया गया है और पर्याप्त साबित हुए हैं।

हालांकि, उपयोगकर्ताओं के परिष्कार में वृद्धि के साथ, गैर-रैखिक कंप्यूटर दिनचर्या की उपलब्धता के साथ, इस तकनीक के उपयोग में उल्लेखनीय वृद्धि होगी। व्यापार और उद्योग की समस्याएं हैं जहां रैखिकता की धारणा काफी मान्य नहीं है।

उदाहरण के लिए, परिवहन समस्याओं में, थोक परिवहन दरें हैं जो नियमित परिवहन दरों की तुलना में सस्ती हैं। ये दरें लागू होती हैं, यदि परिवहन की गई राशि एक निश्चित मात्रा से ऊपर हो। इस प्रकार, उद्देश्य फ़ंक्शन अब रैखिक नहीं रहता है, लेकिन निर्णय चर का एक गैर-रैखिक फ़ंक्शन बन जाता है।