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वैल्यूएशन का एक वैकल्पिक रूप एक पुट के लिए ब्लैक-स्कोल्स फॉर्मूला का उपयोग करना है, जो है:
P = Xe -r (TT) [1-एन (घ2)] - एस [१-एन (डी)1)]
जहां घ1 और डी2 कॉल विकल्प प्राप्त करने वाले अनुभाग में दिए गए हैं।
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ध्यान दें कि [1 - N (d)2)] एन (-d) के समान है2) और [१ - एन (डी)1)] एन (-d) के समान है1).
उसी डेटा का उपयोग करना, जिसका उपयोग हमने कॉल के मूल्य निर्धारण में किया था, पुट ऑप्शन वैल्यू की गणना निम्नानुसार की जाती है:
पी = 31.6693 (0.3446) - 35 (0.2743) = 1.3127
मान के लिए डी1 और डी2 पहले गणना की जानी चाहिए, और फिर एन मूल्यों को देखने के लिए मानक सामान्य वितरण के लिए एक तालिका का उपयोग किया जाना चाहिए। वास्तविक व्यवहार में, कंप्यूटर एल्गोरिदम और हैंडहेल्ड कैलकुलेटर एक बहुपद समीकरण का उपयोग करते हैं जो बहुत सटीक एन मूल्य सन्निकटन देगा।
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तथ्य के रूप में किसी भी संपत्ति को महत्व देने के लिए हमारी मानक प्रक्रिया में दो मूल चरण होते हैं:
(1) अपेक्षित नकदी प्रवाह और पूर्वानुमान
(२) पूंजी की अवसर लागत पर छूट।
यह दृष्टिकोण विकल्प मूल्यांकन के लिए सहायक नहीं है। विकल्प के मामले में, पहला कदम बहुत जटिल है लेकिन संभव है।
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पूंजी की अवसर लागत का पता लगाना असंभव है क्योंकि हर बार स्टॉक की कीमत बढ़ने पर एक विकल्प का जोखिम बदल जाता है। यह समय के साथ स्टॉक मूल्य स्थिर के साथ भी बदलता रहता है। किसी भी विकल्प के मूल्य निर्धारण में चाल स्टॉक में निवेश का एक पैकेज स्थापित करना है और एक ऋण है जो विकल्प से भुगतान को दोहराएगा। वर्षों से एक विकल्प के मूल्य की गणना के लिए कई गणितीय सूत्र तैयार किए गए हैं।
इनमें से सबसे महत्वपूर्ण ब्लैक एंड स्कोल्स ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल (बीएसओपीएम) है। यह मॉडल एक सूत्र देता है जिसके द्वारा प्रीमियम पर काम किया जा सकता है। बीएसओपीएम ने विकल्प मूल्य निर्धारण में और शोध के लिए आधार के रूप में भी काम किया है।
बीएसओपीएम लचीला साबित हुआ है; यह विशेष मुद्रा जैसे विदेशी मुद्रा बांड और वायदा के साथ विभिन्न प्रकार की संपत्ति पर मूल्य विकल्पों के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। यह एक अप्रिय दिखने वाला सूत्र है, लेकिन विशेष रूप से प्रोग्राम किए गए कैलकुलेटर या कंप्यूटर की सहायता से, कोई भी आसानी से सेकंड के भीतर विकल्प की कीमतों की गणना कर सकता है।
यद्यपि यह सूत्र काफी प्रत्यक्ष है, लेकिन इसका उपयोग करना काफी प्रत्यक्ष है।
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प्रमुख इनपुट हैं:
(1) वर्तमान स्टॉक मूल्य 'S'
(2) व्यायाम मूल्य 'ई',
(3) परिपक्वता का समय 't',
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(4) बाजार ब्याज दर 'आर' और
(5) वार्षिक मूल्य परिवर्तन 's' का मानक विचलन।
पहले तीन इनपुट वर्तमान बाजार उद्धरणों से आसानी से अवलोकन योग्य हैं या डेटा के ज्ञात आइटम हैं। बाजार की ब्याज दर का अनुमान लगाया जाना चाहिए लेकिन इसे आसानी से स्थापित किया जा सकता है। संभावित स्रोत 30, 60 और 90 से 240 दिनों तक की विभिन्न परिपक्वताओं के लिए प्रतिदिन उद्धृत टी-बिल दर हैं। विकल्प की अवधि से मेल खाती परिपक्वता के लिए दर का उपयोग किया जाना चाहिए।
अन्य अनुमानित इनपुट - स्टॉक मूल्य परिवर्तन का मानक विचलन - अनुमान लगाना अधिक कठिन है और त्रुटियों का स्थापित विकल्प मूल्य पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ सकता है। स्टॉक मूल्य की परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए कई तकनीकें हैं। एक तकनीक भविष्य में उत्पन्न होने वाले मानक विचलन के अनुमान के रूप में स्टॉक के मूल्य परिवर्तनों के मानक विचलन के ऐतिहासिक रूप से व्युत्पन्न मूल्यों का उपयोग करती है।
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इस संबंध में माप की समय अवधि महत्वपूर्ण हो जाती है; बहुत लंबी अवधि के परिणामस्वरूप अप्रासंगिक टिप्पणियों का समावेश हो सकता है और बहुत कम अवधि के लिए बहुमूल्य जानकारी को बाहर रखा जा सकता है और प्रतिनिधि नहीं हो सकता है। कुछ लोग ऐतिहासिक डेटा के उपयोग के साथ सबसे हाल के छह महीने या ट्रेडिंग डेटा की सबसे अच्छी माप अंतराल के रूप में सलाह देते हैं।
स्टॉक की परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने का एक वैकल्पिक तरीका विकल्प मूल्यांकन फॉर्मूला है। किसी विकल्प की उचित कीमत का आकलन करने के लिए सूत्र का उपयोग करने के बजाय, हम एक विकल्प की वर्तमान कीमत का निरीक्षण कर सकते हैं और सूत्र में निहित स्टॉक मूल्य के मानक विचलन को घटा सकते हैं।
पिछले समय की एक श्रृंखला में निहित विचलन की गणना और औसत, पिछले मूल्यों के सीधे औसत से स्टॉक की अपेक्षित परिवर्तनशीलता का अधिक सटीक मूल्यांकन प्रदान कर सकता है। या तो मामले में, स्टॉक मूल्य की परिवर्तनशीलता में संभावित भविष्य के परिवर्तनों के लिए इन व्युत्पन्न मूल्यों को समायोजित करना आवश्यक हो सकता है।
यहां, हम उन अंतर्निहित कारकों की जांच करना चाहते हैं जो प्रतिभूतियों के जोखिम के बुनियादी निर्धारक हैं:
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(1) ब्याज दर जोखिम,
(2) क्रय शक्ति जोखिम,
(3) व्यावसायिक जोखिम और
(4) वित्तीय जोखिम।
यदि इन कारकों के लिए स्टॉक का एक्सपोजर बदल रहा है, तो इस परिवर्तन को प्रतिबिंबित करने के लिए ऐतिहासिक रूप से व्युत्पन्न परिवर्तनशीलता अनुमान समायोजित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि कंपनी अब ऋण के साथ अधिक भारी वित्तपोषण कर रही है, तो इसका वित्तीय जोखिम और भविष्य की परिवर्तनशीलता की संभावना अतीत की तुलना में अधिक होगी।
समस्या 1:
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स्टॉक ऑप्शन की समाप्ति तक 120 दिन हैं और स्ट्राइक मूल्य रु .85 है। ब्याज की सरल दर 6 प्रतिशत है। अंतर्निहित परिसंपत्ति का मूल्य रु .80 है और अस्थिरता (मानक विचलन) 0.30 है। स्टॉक विकल्प के मूल्य की गणना करें।
उपाय:
(1) समाप्ति के दिनों की संख्या को 365 से विभाजित करके वर्षों में परिवर्तित किया जाना चाहिए
इस प्रकार, t = 120/365 = 0.329
(2) साधारण वार्षिक ब्याज को ब्लैक में परिवर्तित किया जाना चाहिए - 1 + आर = ई के संबंध का उपयोग करते हुए स्कोल्स को लगातार समतुल्य समतुल्य बनाया जाता हैआर, r r बनाकर = (1 + R) में।
अब आर = इन (1.06) = 0.0583
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अब हम d के मान पा सकते हैं1 और डी2 निम्नलिखित नुसार:
अगला कदम एन को देखना है1) और एन (डी2) ऐसे मानों की तालिका में मान। ध्यान दें कि एन (डी)1) = एन (-0.155) और एन (डी)2) = (-0.327) एक मानक सामान्य वितरण समारोह के तहत क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। पुस्तक के अंत में दी गई तालिका से, हम देखते हैं कि डी का मूल्य1 = 0.155 का अर्थ है, सामान्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल -0.155 के बाईं ओर, जो लगभग (तालिका का प्रक्षेप) है ।438।
N का मान (d)2) लगभग 0.372 के समान फैशन में पाया जाता है।
अब, हम स्टॉक विकल्प के मूल्य को प्राप्त करने के लिए ब्लैक - स्कोल्स फॉर्मूला में उपरोक्त मान डाल सकते हैं।
= 80 x .438 xe(-0.0583 x .329) x .372 = रु। 4.03
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समस्या 2:
निम्नलिखित जानकारी से विकल्प के मूल्य की गणना करें:
एस = 20 रु
r = 12% = 0.12
के = रु। 20
σ2 = 0.16
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t = 3 महीने या 0.25 साल
उपाय:
चूंकि डी1 और डी2 ब्लैक-स्कोल्स ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल के लिए आवश्यक इनपुट हैं।
घ2 = डी1 - 0.20 = 0.05
एन (घ1) = एन (0.25)
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एन (घ2) = एन (0.052)
उपरोक्त दो मानक सामान्य वितरण समारोह के तहत क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं।
पुस्तक के अंत में दी गई तालिका से, हम देखते हैं कि मान d1 = 0.25 का अर्थ 0.0987 + 0.5000 = 0.5987 है, इसलिए N (d)1) = 0.5987। इसी तरह, एन (डी2) = 0.5199 हम उन मूल्यों का उपयोग ब्लैक-स्कोल्स ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल में समीकरण को हल करने के लिए कर सकते हैं।
C = रु। 20 [N (d)1)] - रु। २२ इ (-0.12) (०.२५) [एन (डी)2)] = RS.20 [N (0.25)] - RS.20 (0.9704) [N (0.05)]
= Rs.20 (0.5987) - रु। 19.41 (0.5199) = रु। 11.97 - Rs.10.09 = Rs.1.88